Rangkaian RC

Kapasitor dan resistor sering dijumpai bersama-sama dalam suatu rangkaian. Gambar dibawah merupakan sebuah contoh sederhana rangkaian RC. Jika saklar S₁ ditutup, arus segera mulai mengalir ke dalam rangkaian, dan pada kapasitor C mulai terkumpul sejumlah muatan . Selama muatan terkumpul pada kapasitor, arus dari sumber menurun hingga tegangan kapasitor V sama dengan gaya gerak listrik sumber ε,dan selanjutnya tidak ada arus yang mengalir. Muatan pada kapasitor Q naik secara bertahap seperti ditunjukkan dalam gambar dibawah dan mencapai harga maksimum sama dengan Cε.

Rangkaian RC

Bentuk matematika dari kurva ini, yaitu Q fungsi dari waktu, dapat diturunkan dengan menggunakan hukum kekekatan energi atau hukum kirchoff. Gaya gerak listrik baterei E akan sama dengan jumlah tegangan jatuh dari resistor (iR) dan kapasitor (Q/C).

$\varepsilon =iR+\frac{Q}{C}$

Tahanan R meliputi seluruh tahanan dalam rangkaian termasuk tahanan dalam baterei, i adalah arus dalam rangkaian pada suatu saat, dan Q muatan pada kapasitor pada saat yang sama. Walaupun ε, R dan C adalah konstan, kedua harga Q dan i merupakan fungsi waktu. Besar muatan yang mengalir melalui resistor (i = dQ/dt) sama dengan jumlah muatan yang terkumpul pada kapasitor. Dengan demikian persamaan dapat dinyatakan dengan :

$\varepsilon =R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q$

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengatur kembali :

$\frac{dQ}{Q-C\sum }=-\frac{dt}{RC}$

kemudian mengintegrasikannya

$\int \frac{dQ}{Q-C\varepsilon }=-\frac{1}{RC}\int dt$

$ln(Q-C\varepsilon )=-\frac{t}{RC}+K$

di sini K adalah konstanta integrasi. Pada t=0, harga Q =0 maka

$ln(-C\varepsilon )=K$

Jika harga K di masukkan ke dalam hubungan di atas diperoleh :

$ln(Q-C\varepsilon )-ln(-C\varepsilon )=-\frac{t}{RC}$

atau

$ln(1-\frac{Q}{C\varepsilon} )=-\frac{t}{RC}$

dalam bentuk eksponensial

$1-\frac{Q}{C\varepsilon} =-e^{-t/RC}$

atau

$Q=C\varepsilon (1-e^{-t/RC})$

Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa muatan Q pada kapasitor bertambah dari Q=O pada t=0, hingga mencapai harga maksimum Q = Cε setelah jangka waktu yang sangat lama. Besaran RC disebut konstanta waktu (time constant) rangkaian. Saluran dari RC adalah Ω/F =(V/A)(C/V) = C/(C/s) = s. Hal ini menunjukan bahwa waktu yang diperlukan kapasitor untuk mencapai (1- e-1) atau 63% dari muatan maksimum.

$Q=C\varepsilon (1-e^{-1})\approx 0,63C\varepsilon$

Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa harga Q tidak pernah mencapai harga maksimum Q =Cε, kecuali setelah waktu yang tak terhingga. Arus i yang mengalir dalam rangkaian pada suatu saat t dapat ditentukan dengan mendeferensialkan persamaan sebagai berikut :

$i=\frac{dQ}{dt}=\frac{\varepsilon }{R}e^{-t/RC}$